Une belle récurrence (et des matrices symétriques modulo 2)

Un ami m’a posé le problème suivant :

Soit A\in\mathcal M_n(\mathbf Z/2\mathbf Z) une matrice symétrique dont aucun coefficient diagonal n’est nul. Démontrer que le vecteur \begin{pmatrix} 1 \\ \vdots \\ 1\end{pmatrix} appartient à l’image de A.

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Binôme de Newton, formule de Leibniz, loi binomiale

Voici trois résultats mathématiques élémentaires appartenant à des domaines variés (algèbre, analyse, probabilités) :

  1. Formule du binôme de Newton. Soient a,b deux éléments qui commutent d’un anneau A. Alors, pour tout entier naturel n, \displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}a^{n-k}b^k.
  2. Formule de Leibniz. Soient f,g:I\to\mathbf R deux fonctions indéfiniment dérivables sur un intervalle I. Alors, pour tout entier naturel n, \displaystyle (fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n\choose k}f^{(n-k)}g^{(k)}.
  3. Loi binomiale. Soient (X_1,X_2,\dots) une suite de variables aléatoires indépendantes sur un même espace probabilisé \Omega, de même loi : pour tout entier n\ge 1, X_n prend la valeur 1 avec la probabilité p (un réel indépendant de n) et la valeur 0 avec la probabilité q=1-p. Alors, pour tout entier naturel n, la loi de S_n=X_1+\dots+X_n est donnée par : \displaystyle P(S_n=k)={n\choose k}q^{n-k}p^k pour tout entier k\in\{0,1,\dots,m\}.

C’est un jeu (apparemment un peu moins élémentaire) d’essayer de déduire 2 et 3 de 1.

Je sais depuis longtemps comment on fait pour 3 : on se place par exemple dans l’anneau A des mesures boréliennes sur \mathbf R, le produit est la convolution \star. La loi commune aux X_n est q\delta_0+p\delta_1\in A, et la loi de S_n est (q\delta_0+p\delta_1)^n (la puissance fait référence au produit de l’anneau A, donc au produit de convolution). Il ne reste plus qu’à développer avec la formule de Newton, on peut car \delta_0 et \delta_1 commutent (mieux : \delta_0 est l’élément neutre de A).

Je viens d’apprendre comment on peut faire pour déduire 2 de 1 : on se place dans l’anneau A des endomorphismes de l’espace vectoriel \mathcal C^{\infty}(I\times I,\mathbf R) et on considère les deux endomorphismes D_1 et D_2 de dérivation partielle. Ils commutent d’après le théorème de Schwarz, donc on peut appliquer la formule de Newton : \displaystyle (D_1+D_2)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}D_1^{n-k}D_2^{k}. On applique cet endomorphisme à la fonction h:(x,y)\mapsto f(x)g(y), puis on évalue en (x,x). Il faut vérifier aussi que \displaystyle ((D_1+D_2)^n h)(x,x)=(fg)^{(n)}(x) (par récurrence par exemple).

Développées et développantes

astroïde

Avertissement : ce qui suit est informel, je pense en particulier au mot courbe que j’utilise sans précision alors qu’il a beaucoup de sens différents en math. Disons simplement que les courbes dont il est question ici sont dans un plan affine euclidien et sont «gentilles».

J’ai eu l’occasion de donner un exercice à mes élèves sur les développées (montrer que la développée d’une astroïde en est une autre). La développée d’une courbe est l’ensemble de ses centres de courbure. Notion liée : on dit qu’une courbe est une développante d’une autre si elle admet cette dernière pour développée. C’est plus concret que ça en a l’air : si on attache un fil de longueur finie sur une courbe C et qu’on l’enroule, en le maintenant tendu, autour de C, on obtient une développante de C.

Voici une vidéo qui montre la développée d’une astroïde : astroide.mpg (parmi les maillons de la chaîne de fabrication de ce fichier, on trouve LaTeX et FFmpeg)

Une utilisation du lemme de Cesàro

Le lemme de Cesàro dit que si une suite numérique (u_n) converge vers un réel \ell, alors la suite des moyennes \left(\dfrac{u_1+\dots+u_n}{n}\right) converge aussi vers \ell.

On peut aussi énoncer le lemme de Cesàro ainsi (c’est plus pratique pour ce qui va suivre) : si la dérivée discrète (u_{n+1}-u_n) d’une suite converge vers un réel non nul c, alors u_n\sim nc.

Voici maintenant une application : on considère la suite (u_n) définie par u_1=1 et u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{u_n} et on va trouver un équivalent simple de u_n. On vérifie facilement que u_n diverge vers +\infty et que u_{n+1}^2-u_n^2=2+\dfrac{1}{u_n^2}. Donc la dérivée discrète de (u_n^2) converge vers 2. D’après le lemme de Cesàro, u_n^2\sim 2n et donc u_n\sim \sqrt{2n}.

On peut de la même façon trouver un équivalent de la suite (a_n) définie par a_1=1 et a_{n+1}=sin(a_n) par exemple…

Suites réelles sous-additives

Dans un commentaire récent, JLT parle de l’efficacité des notions «limsup» et «liminf». Je me souviens d’une preuve qui illustre bien cette efficacité :

Soit (u_n) une suite réelle sous-additive, démontrer que (u_n/n) converge.

On commence par fixer un entier p\ge 1. Pour tout entier n, on note n=q_n p+r_n sa division euclidienne par p. On a \displaystyle u_n=u_{q_np+r_n}\le q_n u_p+u_{r_n}, donc \frac{u_n}{n}\le \frac{q_n}{n}u_p+\frac{u_{r_n}}{n}. On passe à la limite supérieure : \limsup \frac{u_n}{n}\le \frac{u_p}{p}. Maintenant, on fait varier p, et on passe à la limite inférieure : \limsup \frac{u_n}{n}\le \liminf \frac{u_p}{p}, d’où la convergence.

Ce serait amusant de comparer avec une démonstration sans liminf ni limsup !

PS. Ce résultat sur les suites sous-additives a une application directe dans le chapitre du rayon spectral

Erreur d’élève avec le théorème des gendarmes

Le théorème des gendarmes, dans sa variante pour les suites, dit que si une suite u est encadrée par deux suites convergentes de même limite, alors u est convergente.

Voici une erreur, sans doute classique, que je vois dans des copies :

On a \forall n\in\mathbf N, a_n\le u_n\le b_n et on sait que les suites (a_n) et (b_n) convergent toutes les deux vers 1. Puisque le passage à la limite conserve les inégalités larges, on a \lim a_n\le \lim u_n\le \lim b_n c.a.d 1\le \lim u_n\le 1. D’après le théorème des gendarmes, \lim u_n=1.

C’est rigolo d’invoquer un théorème (le théorème des gendarmes) pour montrer que si un nombre x est tel que 1\le x\le 1, alors x=1. Si un de mes élèves passe ici et se reconnaît, j’espère qu’il comprend l’erreur et qu’il ne le fera plus.